METODE NEWTON - RAPHSON

Metode Newton-Raphson ini paling terkenal dan paling banyak digunakan dalam terapan sain dan rekayasa. Metode ini paling disukai kerena konversinya paling cepat diantara metode-metode yang lain. Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu :

• Secara goemeteri
  
• Dengan bantuan deret Taylor
  

Secara Geometri

Diketahui bahwa gradien garis singgung di x = xr adalah m = f'(xr)=( f(xr)-0 )/( xr - xr+1) atau  f'(xr)= f(xr)/( xr - xr+1) , sehingga prosedur iterasi metode ini adalah :

xr+1 = xr - ( f(xr)/f'(xr) ), f'(x) tidak sama dengan 0

Dengan Bantuan Deret Taylor

Uraikan f(xr+1) di sekitar x = xr ke dalam deret Taylor sebagai berikut:
f(xr+1)  = f(xr)+(xr+1-xr) f'(xr)+(xr+1-xr)^2/2 ! f''(t)  

yang bila dipotang sampai suku kedua, maka persamaannya menjadi  f(xr+1)  = f(xr)+(xr+1-xr) f'(xr). Karena ini persoalan mencari akar persamaan, maka f(xr+1)=0, sehingga 0= f(xr)+(xr+1-xr) f'(xr)

                 

Sedangkan kriteria berhentinya iterasi Newton – Raphson adalah atau , dimana dan

Algoritma dari metode Newton-Raphson ini adalah

1. Tentukan nilai x₀, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum
   
2. Hitung xbaru = x-f(x₀)/f'(x₀)
   
3. Jika nilai mutlak (x_baru – x₀) < toleransi, diperoleh xbaru sebagai hasil perhitungan, jika tidak, lanjutkan ke berikutnya
   
4. Cek jika jumlah iterasi > iterasi_maksimum, akhiri program
   
5. X = x_baru, dan kembali ke langkah (3)
   

Tugas

Hitung akar f(x) = e^x-5x^2 dengan metode Newton-Raphson, bila diketahui e= 0,00001

Solusi

	i	x0	e^x	f(x)	f'(x)	f(x)/f'(x)	xbaru	|xbaru-x0|
	0	0.5	1.648721271	0.398721	-3.351278729	-0.1189759	0.618975861	0.118975861
	1	0.618975861	1.857025216	-0.058630	-4.332733394	0.0135320	0.605443903	-0.013531958
	2	0.605443903	1.832065288	-0.000746	-4.222373742	0.0001768	0.605267152	-0.000176751
	3	0.605267152	1.831741497	0.000000	-4.220930023	0.0000000	0.605267121	-3.06854E-08
	4	0.605267121	1.83174144	0.000000	-4.22092977	0.0000000	0.605267121	3.14619E-10