Interpolasi Dan Regresi

REGRESI

Data hasil pengukuran umumnya mengandung galat yang cukup berarti, karena data ini tidak terlalu teliti, maka kurva yang mencocokan titik –titik data itu tidak perlu melalui semua titik. Strategi yang digunakan adalah menentukan kurva yang mewakili kecenderungan titik data, yakni kurva mengikuti pola titik sebagai kelompok ( Gambar 9.1 a). Kurva tersebut dibuat sedemikian sehingga selisih antara titik data dengan titik hampirannya di kurva sekecil mungkin. Metode pencocokkan kurva seperti ini dinamakan regresi kuadrat terkecil (least square regression ). Galat yang timbul, mungkin disebabkan oleh kesalahan pengukuran, keatidak telitian alat ukur yang digunakan atau karena sifat system yang diukur, contoh data yang mengandung galat adalah table tegangan baja.

Interpolasi

Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva cocokannya dibuat melalui titik-titik , persis sama apabila kurva fungsi yang sebernarnya diplot melalui setiap titik itu. Disini kita dikatakan melakukan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi ( gambar, 9.1b). Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk polinom, maka polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Contoh data yang tingkat ketelitiannya tinggi adalah titik-titik data yang diperoleh dari persamaan yang menyatakan hubungan antara jarak tempuh terhadap waktu tempuh pada benda yang jatuh bebas. Selain dengan polinom , interpolasi titik-titik data dapat dilakukan dengan fungsi spline, fungsi rasional atau dengan deret Fourier.

Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode numerik. Fungsi yang tampak sangat rumit, akan menjadi sederhana bila dinyatakan dalam polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik, metode persamaan difrensial biasa dan metode turunan numerik didasarkan pada polinom interpolasi, sehingga banyak yang menyatakan bahwa interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik.

INTERPOLASI POLINOM

Diberikan (n+1) buah titik yang berbeda, yaitu ,…. Tentukan polinom yang menginterpolasi ( melewati ) semua titik-titik tersebut, sedemikian sehingga,

, untuk

Nilai dapat berasal dari fungsi matematika , misalkan , , fungsi Bessel,dan sebagainya, sedemikian sehingga atau diperoleh secara emperik ( hasil dari pengamatan percobaan di Laboratorium).

Setelah polinom interpolasi dapat diperoleh, maka tersebut digunakakan untuk menghitung perkiraan nilai , yaitu . Posisi titik mungkin terletak diantara titik-titik data, atau terletak diluar titik-titik data, atau , jika,

(i) , maka disebut nilai interpolasi.

(ii) atau , maka disebut nilai ekstrapolasi

Kita dapat menginterpolasi titik-titik data dengan polinom linier, polinom kuadratis, polinom kubik atau polinom derajat yang lebih tinggi, tergantung pada jumlah titik-titik data yang tersedia.

INTERPOLASI LINIER

Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah titik, dan . Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk :

…………………………………………..(9.3)

Gambar (9.3) memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik dan .

Gambar : Interpolasi linier

Koefisien dicari dengan proses substitusi dan eliminasi . Dengan mensubstitusikan dan ke dalam persamaan (9.3) diperoleh dua buah persamaan linier:

Kedua persamaan ini diselesaikan dengan proses eliminasi, yang menghasilkan …………………………………(9.4)

dan

……………………………(9.5)

Substitusikan pers. (9.4) dan (9.5) ke dalam pers.(9.3) untuk mendapatkan persamaan garis lurus:

…………..(9.6)

Dengan melakukan manipulasi aljabar, persamaan (9.6) ini dapat disusun menjadi ……………..(9.7)

BUKTI:

Persamaan (9.7) adalah merupakan persamaan garis lurus yang melalui dua buah titik dan . Kurva polinom ini adalah berupa garis lurus ( gambar 9.3 ).

Contoh 1.

Perkirakan jumlah penduduk Amerika Serikat ( dalam jutaan )pada tahun 1968 berdasarkan data yang ditabelkan sbb:

Tahun	1960	1970
Jumlah penduduk	179,3	203,2

Solusi:

Disini , dan ,

dengan menggunakan pers.(9.7) diperoleh hasil sbb:

Jadi taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198,4 juta

Contoh 2.

Dari data, diketahui bahwa ln(9,0)= 2,1972 dan ln(9,5)=2,2513 ,maka tentukan nilai ln(9,2) dengan interpolasi linier sampai 5 angka dibelakang koma. Bandingkan hasilnya dengan nilai sejatinya, ln(9,2)= 2,2192.

Solusi:

Disini , dan ,

dengan menggunakan pers.(9.7) diperoleh hasil sbb:

Galat = 2,2192-2,2188 = 0,0004. Disini terlihat bahwa interpolasi linier tidak cukup untuk memperolehketelitian sampai 5 angka penting, hanya sampai 3 angka penting.

INTERPOLASI KUADRATIK

Misalkan diberikan tiga buah titik data ,dan . Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik tersebut adalah berupa polinom kuadratik
yang persamaannya adalah sbb:

………………………………..(9.8)

Bila digambar, kurva polinom kuadratik seperti pada gambar(9.4). Polinom ditentukan dengan cara mensubstitusikan kedalam persamaan (9.8), dimana Dari sini diperoleh tiga buah parsamaan yang tidak diketahui, yaitu dan :

………………………………………….(9.9)

Untuk menghitung dan dari sistem pers.(9.9) digunakan metode eliminasi Gauss.

Gambar. Interpolasi kuadratik

Contoh 3.

Diberikan titik data ln(8,0)= 2,0794 , ln(9,0)= 2,1972 dan ln(9,5)=2,2513. Tentukan nilai ln(9,2) dengan interpolasi kuadratik.

Solusi:

Disini ,

, ,

dengan menggunakan pers.(9.8) diperoleh hasil sbb:

……………………………….(9.10)

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, maka dihasilkan nilai , dan . Polinom kuadratnya adalah , sehingga . Hasil perhitungan ini sama dengan nilai eksaknya, sampai 5 angka penting.

INTERPOLASI KUBIK

Misalkan diberikan tiga buah titik data ,,dan . Polinom yang menginterpolasi keempat buah titik tersebut adalah berupa polinom kubik
yang persamaannya adalah sbb:

………………………………..(9.11)

Persamaan (9.11) ditentukan dengan cara sebagai berikut,

Polinom ditentukan dengan cara mensubstitusikan kedalam persamaan (9.11), dimana Dari sini diperoleh empat buah parsamaan yang tidak diketahui, yaitu , dan :

……………………………………(9.12)

Untuk menghitung ,dan dari sistem pers.(9.11) digunakan metode eliminasi Gauss.

Bila digambar, kurva polinom kubik adalah

Gambar Interpolasi kubik

Dengan cara yang sama kita dapat membuat polinom interpolasi berderajat n yang dirumuskan oleh,

................(9.13)

Asalkan terdapat buah titik data dan dengan mensubtitusikan titik ke dalam pers.(9.13), untuk akan dipeeroleh buah persamaan dengan koefisien yang harus ditentukan nilainya

…………………….(9.14)

… … …. ….. … =… .

Seperti persamaan sebelumnya, nilai dapat ditentukan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss.